有两个穿孔的4维球面中光滑的嵌入3维球面间的光滑同痕

GaussII

在光滑流形范畴中考虑。文献中有这样的一个“基本事实”：

设 $p,q\in\mathbb{S}^4$ 是标准4维球面中不同的两点。$\Sigma_1,\Sigma_2\subset \mathbb{S}^4-\{p,q\}$ 是有两个穿孔的4维球面中的嵌入3维球面。则 $\Sigma_1,\Sigma_2$ 在 $\mathbb{S}^4-\{p,q\}$ 中同痕当且仅当 $\Sigma_1,\Sigma_2$ 在$\mathbb{S}^4$中同痕且在 $H_3(\mathbb{S}^4-\{p,q\})$ 中的同调类相等。

该命题的必要性是显然的。想请教一下，充分性要如何证明呢？

GaussII

问题已解决。