浙大2025年考研数分

GaussII

一、计算题.

1. $\lim_{n\rightarrow\infty}n^2(\text{arctan}\frac{2024}{n}-\text{arctan}\frac{2024}{n+1}).$

2. $z=z(x,y)$ 由 $f(z-x,z-y)$ 确定，$f(u,v)$有一阶偏导数，且 $\frac{\partial f}{
\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\neq 0$, 计算 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$.

3. 计算 $\int_{-8}^8 \frac{1+\sin x}{1+x^{\frac{2}{3}}}\text{d}x$.

4. $\Sigma=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1,z\geq0\}$, 取上侧， 计算
$$\int_{\Sigma}x^2\text{d}y\text{d}z+y^2\text{d}z\text{d}x+(z^2+\sin (xy))\text{d}x\text{d}y.$$

二、设 $\{a_n\}$ 为非负递减数列， 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。 证明： $\lim_{n\rightarrow\infty}na_n=0$.

三、 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， 且对任意的$x\in (0,1)$, $f_+'(x)$ 存在。 若 $f(0)=f(1)$, 证明：存在 $\xi\in(0,1)$,使得 $f_+'(\xi)\leq 0$.

四、叙述闭区间套定理， 并用该定理证明闭区间上连续函数可达到最大值。

五、设 $f(x,y)=(x+y)^2\sin \frac{1}{x^2+y^2},(x,y)\neq(0,0); =0, (x,y)=(0,0)$. 讨论 $f$ 及 $f$的偏导数在 $(0,0)$ 的连续性及 $f$ 在 $(0,0)$ 的可微性。

六、 证明：$\sum_{n=1}^{\infty}n^2e^{-nx}$ 在 $(0,\infty)$ 上非一致收敛，在 $(1,\infty)$ 上一致收敛。

七、 证明： $f(x)$ 在 $(0,1)$ 一致连续的充要条件是对 $(0,1)$ 上的任意 Cauchy 列 $\{x_n\}$,  $\{f(x_n)\}$ 也为 Cauchy 列。

八、 设 $\{r_n\}$ 为全体有理数， 令 $f(x)=\sum_{n:r_n<x}\frac{1}{2^n}$. 证明：$f(x)$ 在无理点连续，在连续点处间断， 且单调递增。

九、 对任意实数 $x$ 及 正整数 $n$, 记 $\phi_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2x^2}$. 证明：对在实轴上连续且有界的任意函数 $f$, 对任意实数 $x$, 有
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\phi_n(x-y)\text{d}y=f(x).$$

GaussII

第7题缺失部分为， $\{f(x_n)\}$