厦门大学2025考研数分

GaussII

1. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2024n)^n}{2025^n n!}$ 的敛散性.

2. 设 $f_1(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数， $x_0\in[a,b],f_{n+1}(x)=\int_{x_0}^x f_{n}(t)\text{d}t$, 讨论$\{f_{n}(x)\}$ 在$[a,b]$ 上的一致收敛性， 并求出极限函数.

3. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微， $f(a)=0$. 证明：$\int_a^bf^2(x)\text{d}x\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b|f'(x)|^2\text{d}x$.

4. 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有界可导，若 $x^{2025}f'(x)$ 单调，证明： $\lim_{x\rightarrow\infty}(x\log x)f(x)=0$.

5. 设 $\{F_{\lambda}\}_{\lambda\in\Gamma}$ 是一族闭集， 其中至少有一个是有界闭集， 且 $\cap_{\lambda\in\Gamma}F_{\lambda}=\emptyset$. 证明：存在有限个 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\Gamma$, 使得 $\cap_{k=1}^{n}F_{\lambda_k}=\emptyset$.

6. 计算 $\int_{\Omega}e^{3z^2-z^3}\text{d}x\text{d}y\text{d}z$, 其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2\leq 2z$.

7. 在 $\mathbb{R}^3$ 中函数 $u(\textbf{x})=u(x_1,x_2,x_3)$ 二阶可微， 设 $||\textbf{x}||:=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$, $B_r$ 表示以原点为球心，$r$ 为半径的球.  记
$$H(r):=\int_{B_r}u^2(\textbf{x})(r^2-||\textbf{x}||^2)^{\alpha}\text{d}\textbf{x},~ I(r):=\int_{B_r}||\nambla u(\textbf{x})||^2(r^2-||\textbf{x}||^2)^{\alpha+1}\text{d}\textbf{x},~\alpha\geq 2.$$
(1) 证明： $H'(r)=2\alpha r\int_{B_r}u^2(\textbf{x})(r^2-||\textbf{x}||^2)^{\alpha-1}\text{d}\textbf{x}$.
(2) 证明：若 $u$ 为调和函数， 则 $H'(r)=\frac{2a+1}{r}H(r)+\frac{1}{(\alpha+1)r}I(r)$.

8. 设 $f(x)=x^2, x\in [-\pi,\pi]$.
(1) 求 $f(x)$ 的 Fourier 级数.
(2) 求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$.

GaussII

第7题中 $I(r)$ 的定义为
$$I(r):=\int_{B_r}||\nabla u(\textbf{x})||^2(r^2-||\textbf{x}||^2)^{\alpha+1}\text{d}\textbf{x}.$$