帖子“请教点集的一个问题”的一个解决

周不通

问题见原帖子http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=38140&extra=page%3D1。
大体意思是任给定实数集合$\mathbb R $ 中一个有界非空完备子集$F$，必然存在连续函数$f$，使得$f$(非严格)递增，并且把整个实数集与子集$F$都映射满到单位区间$[0,1]$。

解决方法是，首先 参考周明强 实变函数第二版，第55页到57页关于康托尔三分集与康托尔函数的论述。以及同一页中关于完全集的断言，
实数域上一个子集合是完全集当且仅当其补集是一些互相不交，并且端点也互不相同的开区间（至多可列个）的并集。

其次，对于给定的有界非空完备集合$F$，挖去其内部点（这个操作不妥，应修正为把$F$内的闭区间替换为该区间内的康托尔三分集），得到一个有界非空稀疏完备集合$F_1$，证明$F_1$的补集合与康托尔三分集的补集合是保持顺序拓扑同胚的。从而这个拓扑同胚可以延拓为$F_1$到康托尔三分集的保持顺序的拓扑同胚。合起来就有一个实数集合到自身的拓扑同胚，把有界非空稀疏完备集合$F_1$双射映射到康托尔三分集。把康托尔函数与此同胚复合就得到所需的连续函数。

最后，先建立一个命题，任意一个可列的，有最大元最小元的线性序的稠密集合必然保持顺序双射对应到单位区间$[0,1]$中有理数集合。由此可以得到“其次”所提到的$F_1$的补集合与康托尔三分集补集合之间的保持顺序的同胚。

周不通

这里应该是解决了稀疏有界完备集合的情形。一般有界完备集合挖去内点后会产生孤立点。以上做法需要修正。把有界完备集合中的闭区间排成一个序列，不是挖去内部，而是把每一个闭区间像构造康托尔三分集那样 只挖去一些开区间而剩下一个该闭区间内的康托尔三分集合，这样就没有孤立点产生了。再如上构造就好了。