请教点集的一个问题

hyk84

设$ F\subset \mathbb R $是非空有界完备集合。证明：存在$ \mathbb R$上连续函数$f$满足：
（1）$ 0\leqslant f(t) \leqslant 1,  \forall t \in \mathbb R$;
（2）$ f(t_1) \leqslant f(t_2),  \forall t_1<t_2$;
（3）$ \lbrace f(t)|t\in F \rbrace=[0,1] $.

shuxue1985

$f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0,&x<0;\\
x,&x\in[0,1];\\
1,&x>1.
\end{array}
\right.$

周不通

建议考虑勒贝格测度$m$。定义$f(x)=\frac{\,m((-\infty,x) \cap F)\,}{m(F)}$.
可惜对零测集不成立,

herbertfederer

大家要有用点集拓扑的想法去做，没有测度，没有直观的函数。

很久以前似乎在《拓扑空间》高国士，这类书看过类似的。

周不通

周不通 发表于 2018-1-9 20:06
建议考虑勒贝格测度m。定义f(x)=\frac{\,m((-\infty,x) \cap F)\,}{m(F)}.
可惜对零测集不成立, ...

注意到$F$是有界闭集，设$m=\inf F ,M=\sup F$,
$$f(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{\,\sup[ (-\infty,\,x) \cap F] -m\,}{M-m},\quad x \geq m; \\ 0,\quad x \leq m. \end{aligned} \right .$$

Hansschwarzkopf

这个问题没那么简单。注意到$mF=0$是可能的，比如说当$F$是Cantor三分集的时候. 当$F$是Cantor三分集的时候，问题就不简单。

hyk84

周不通 发表于 2018-1-10 12:15
注意到F是有界闭集，设m=\inf F ,M=\sup F,
f(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{\,\sup[ (-\infty, ...

谢谢，但是好像这个函数还不能保证连续吧。
假设有界完备集为 $[0,1]$ 与 $[2,3]$ 的并，按这个函数的定义，在 $x=2$ 处是间断点。

周不通

hyk84 发表于 2018-1-10 20:28
谢谢，但是好像这个函数还不能保证连续吧。
假设有界完备集为 [0,1] 与 [2,3] 的并，按这个函数的定 ...

你是对的.只能保证半连续性.

Hansschwarzkopf

先定义$F$上的单调递增连续函数，使得它的值域是单位区间，然后再连续延拓到整个直线。