2018年武汉大学数学分析真题

hayrhen

Vanuatu 发表于 2017-12-30 18:10
第五题.讨论求解方程f(x)=0牛顿切线法
1.推导牛顿切线法迭代公式;
2.在适当的条件下，证明牛顿切线法收敛 ...

第五题的出处

附件是4页pdf

裁剪自方企勤数学分析第一册

Vanuatu

Hansschwarzkopf 发表于 2017-12-31 16:02
第二题： 注意到
\[\int_0^\pi \sin^nx\cos^6xdx

H老师可以看一下第七题么，还不知道怎么做

2px4

偶然发现：题一、1求极限出自：苏联大学生数学竞赛题解汇集（苏）萨多夫尼契（В.А.Садовничий），（苏）波德科尔津（А.С.Подколзин）编；苏淳等译,1981。P9，48题。

2px4

题六、出自同上书：p34,205题。

XianYu

2px4 发表于 2017-12-26 16:20
二.设f(x),f_1(x)在[a,b]区间上连续，f_{n+1}(x)=f(x)+\int_a^x\sin\{f_n(t)\}\operatorname dt,证明 ...

怎么感觉是在证一致连续啊

Hansschwarzkopf

第二题的解答

设$f,f_1\in C[a,b]$, 定义
\[f_{n+1}(x)=f(x)+\int_a^x \sin f_n(t)dt, n=1,2,\ldots,\]
证明$\{f_n(x)\}$在$[a,b]$上一致收敛.


证  令
\[M=\max\{|f_2(x)-f_1(x)|: a\leqslant x\leqslant b\},\]
则
\[|f_3(x)-f_2(x)| \leqslant  \int_a^x |\sin f_2(t)-\sin f_1(t)|dt\leqslant \int_a^x |f_2(t)-f_1(t)|dt\leqslant M(x-a),\]
\[|f_4(x)-f_3(x)|\leqslant \int_a^x |f_3(t)-f_2(t)|dt\leqslant \int_a^x M(t-a)dt=\frac{M(x-a)^2}{2},\]
一般情况下, 有
  \[|f_n(x)-f_{n-1}(x)|\leqslant \frac{ M(x-a)^{n-2}}{(n-2)!}\leqslant  \frac{ M(b-a)^{n-2}}{(n-2)!},n\geqslant 2.\]
  因此
  \[f_1(x)+\sum_{n=2}^\infty (f_n(x)-f_{n-1}(x))\]
  在$[a,b]$上一致收敛, 即$\{f_n(x)\}$在$[a,b]$上一致收敛.

Hansschwarzkopf

第七题解答


设$u,v\in C^1 (\mathbb R^2)$, 且
\[u(x+1,y)=u(x,y+1)=u(x,y), v(x+1,y)=v(x,y+1)=v(x, y),\forall x,y\in\mathbb R,\]
求
\[\iint\limits_{[0,1]\times [0,1]}\det \left(%
\begin{array}{cc}
1+u_x(x,y) & u_y(x,y) \\
  v_x(x,y) &1+v_y(x,y) \\
\end{array}%
\right)dxdy.\]

解   先证： 若$u,v\in C^1 ([0,1]\times [0,1])$, 则
\begin{align*}\iint\limits_{[0,1]\times
[0,1]}(u_x(x,y)v_y(x,y)-u_y(x,y)v_x(x,y))dxdy &=\int_0^1
(u(1,y)v_y(1,y)-u(0,y)v_y(0,y))dy\\
&-\int_0^1 (u(x,1)v_x(x,1)-u(x,0)v_x(x,0))dx.\end{align*} 事实上,  若$u,v\in C^2 ([0,1]\times [0,1])$, 则
\begin{align*}\iint\limits_{[0,1]\times
[0,1]}(u_x(x,y)v_y(x,y)-u_y(x,y)v_x(x,y))dxdy
&=\iint\limits_{[0,1]\times
[0,1]}((uv_y)_x-(uv_x)_y)dxdy\\
&=\int_0^1
(u(1,y)v_y(1,y)-u(0,y)v_y(0,y))dy\\
&-\int_0^1 (u(x,1)v_x(x,1)-u(x,0)v_x(x,0))dx.\end{align*}

对一般的$u,v\in C^1 ([0,1]\times [0,1])$的情况, 必存在$\{u_n\},\{v_n\}\subset C^2 ([0,1]\times [0,1])$, 使得$\{u_n\}$, $\{v_n\}$ 以及它们的一阶偏导数函数列都在$[0,1]\times [0,1]$上一致收敛.  在上式中将$u, v$ 分别换成$u_n, v_n$, 令  $n \to\infty$,  在积分号下取极限即得所需结果.

根据已证结果, 若$u,v\in C^1(\mathbb R^2)$ 且满足题设的周期条件, 则必有
\[\iint\limits_{[0,1]\times [0,1]}(u_x(x,y)v_y(x,y)-u_y(x,y)v_x(x,y))dxdy=0.\]
如此这般, 最后不难得到
\[\iint\limits_{[0,1]\times [0,1]}\det \left(%
\begin{array}{cc}
1+u_x(x,y) & u_y(x,y) \\
  v_x(x,y) &1+v_y(x,y) \\
\end{array}%
\right)dxdy=1.\]

Hansschwarzkopf

一些打印错误不容忽视。

1） 第二题$\sin f_n(t)$ 即可, 何必$\sin \{f_n(t)\}$?

2) “雅克比” 不如'Jacobi'

Hansschwarzkopf

Hansschwarzkopf 发表于 2018-1-7 06:34
一些打印错误不容忽视。

1） 第二题\sin f_n(t) 即可, 何必\sin \{f_n(t)\}?

本来如此也是错的，怎么不能纠错？第七题的解答如何？

cyrussu

XianYu 发表于 2018-1-2 13:18
怎么感觉是在证一致连续啊

证等度连续跟收敛
我考完了才想出来应该这么证。。。