陈省身关于余切空间的定义

gonn

怎么理解陈省身关于余切空间的定义，即
如何理解商空间$F_p/H_p$,其中$F_p$是函数芽，$H_p$是函数各个偏导等于零的函数.

仙剑无痕

这里的等价关系有两个，每一个等价关系都是对信息的提炼：
第一个等价关系：如果两个函数 $f$ 和 $g$ 在点 $p$ 的某邻域上相等，那么 $f\sim g$. 这里并不要求 $f$ 和 $g$ 的在整个流形上定义，而只要在 $p$ 的某邻域上定义即可，不同的函数的定义域也可以不相同.
这个等价关系的好处就在于我们只关心函数在 $p$ 点附近的函数值，这为叙述和证明相关命题提供了很大的方便，不然每次都需要延拓到整个流形上. 这里要强调的就是微分的局部性.
第二个等价关系：点 $p$ 处的两个函数芽 $[f]$ 和 $[g]$ 如果其代表元在点 $p$ 处的一阶偏导数相等，那么 $[f]\sim [g]$. 这里的等价关系是良定义，跟代表元的选取无关（偏导数只跟 $p$ 点附近的函数值有关）.
这个等价关系才是关键，因为函数本身不是线性的，而这里的一阶偏导数正是函数的线性近似，只不过这里的偏导数跟局部坐标选择有关，每个偏导数都是沿着坐标曲线对函数求方向导数. 但容易证明两个函数的一阶偏导数的对应相等（梯度向量相等），是与局部坐标选择无关的，也就是协变的. （或者两个函数作差后，梯度向量等于零与坐标系选择无关）.
这里的定义本身依赖了局部坐标的选择，但最后可以证明与局部坐标的选择无关，也就是内蕴的，余切向量其实就是函数的微分.
这种余切空间的定义没有建立在切空间基础上，一般的教材会直接把余切空间定义为切空间的对偶空间. 但后面可以直接证明余切向量作用在切向量上确实就是一个线性函数，几何意义是沿着某条过 $p$ 的曲线对函数求在点 $p$ 处的导数（方向导数）.

gonn

仙剑无痕 发表于 2017-12-8 15:17
这里的等价关系有两个，每一个等价关系都是对信息的提炼：
第一个等价关系：如果两个函数 f 和 g 在点  ...

陈省身的书（学生整理）上说$H_p$是局部坐标的偏导数都是0的光滑函数的芽构成的线性空间(想吐了)。且不管它，谢谢你了。

天下归心

gonn 发表于 2017-12-9 10:32
陈省身的书（学生整理）上说H_p是局部坐标的偏导数都是0的光滑函数的芽构成的线性空间(想吐了)。且不管 ...

这句话没毛病。。

周不通

这句话很精确。换句话说，就是高阶无穷小组成的线性空间。略去高阶无穷小就是取商集了。