关于斯通-切赫 紧致化性质中的一个疑问

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设$Y$是$X$的任意一个紧致化，$β(X)$是$X$的斯通-切赫 紧致化。证明存在一个满的连续闭映射$g:β(X)→Y$，使得在$X$上它等于恒等映射(同胚的空间可不加区别)。
如果$i$是从$X$到$Y$的恒等内射，它可以唯一扩张为从$β(X)$到$Y$的连续映射，由于$β(X)$与$Y$都是紧致hausdorff的，于是这个扩张是闭映射。
这个问题中的几个关键词，连续，闭映射，$X$上的限制是恒等映射，都是很容易说明的，但那个满射并没有很好的体现出来，百思不得其解。该怎么说明和修改？望指导。

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。。。。都没人来帮帮靠自学但苦于没人指导的大二生吗……

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常微课上突然想到了。由于是闭映射，$β(X)$的像在$Y$中是闭的，但它又是稠密的，所以只能是满射。