一道解析几何题目

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-16 07:50
是可以兼顾的。因为任意与 xoy 平面夹角为 \theta 的平面都能截出圆。

这个性质很奇特，如何证明。
即，只要找到一个平面截取出圆，那么上下平移该平面还是截取出圆。

kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-16 07:58
这个性质很奇特，如何证明。
即，只要找到一个平面截取出圆，那么上下平移该平面还是截取出圆。 ...

不要看12楼，只看15楼。

kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-16 07:58
这个性质很奇特，如何证明。
即，只要找到一个平面截取出圆，那么上下平移该平面还是截取出圆。 ...

重点看我那个变换之后的方程，它的意思就是说：任意跟 $z$ 轴垂直的平面都能截出圆，不是“存在”，而是“任意”。

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-16 07:50
是可以兼顾的。因为任意与 xoy 平面夹角为 \theta 的平面都能截出圆。

对的，你的后面那个证明最后的那个方程一直保持是一个圆的方程！非常妙！

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-15 18:06
12楼表达方式不够精确，重写一遍。

单叶双曲面的方程 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}= ...

初步画了一个图验证了一下，截面的确都是圆！

1. 
   
2. 
   
3. {a, b, c} = {3, 4, 5};
   
4. \[Theta] := ArcSin[Sqrt[(1/a^2 - 1/b^2)/(1/a^2 + 1/c^2)]];
   
5. Manipulate[
   
6. ImplicitRegion[(x + (1/a^2 - 1/b^2) z b^2 Cot[\[Theta]])^2 +
   
7.      y^2 <=   ((1/a^2 - 1/b^2) z b^2 Cot[\[Theta]])^2 + b^2 +
   
8.      z^2  b^2 (1/b^2 + 1/c^2 - 1/a^2), {x, y, z}] //
   
9.   RegionPlot3D[#, PlotRange -> {{-15, 15}, {-15, 15}, {-6, t}},
   
10.     MeshFunctions -> {#3 &} , Boxed -> False, PlotPoints -> 40,
    
11.     ViewPoint -> {0, 0, Infinity}] &, {t, 0, 6, 0.1}]
    
12. 
    

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kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-16 22:59
初步画了一个图验证了一下，截面的确都是圆！

动态图很漂亮。

herbertfederer

用平面  $\sin(\theta)  x+ \cos(\theta) z=t$ 去截取原来的单叶双曲面，截痕如下（草稿）

1. 
   
2. {a, b, c} = {3, 4, 5};
   
3. \[Theta] := ArcSin[Sqrt[(1/a^2 - 1/b^2)/(1/a^2 + 1/c^2)]];
   
4. ImplicitRegion[{x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 <= 1 &&
   
5.      Sin[\[Theta]] x + Cos[\[Theta]] z == t}, {x, y, z}] //
   
6.   Region[#, ViewPoint -> {Sin[\[Theta]], 0, Cos[\[Theta]]}] & //
   
7. Manipulate[#, {t, 0, 8, 0.1}] &
   

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kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-17 13:28
用平面  \cos(\theta) x+ \sin(\theta) z=d 去截取原来的单页双曲面，截痕如下（草稿）
...

看来英语是数学的一个分支啊。

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-17 13:38
看来英语是数学的一个分支啊。

以 $(\sin\theta,0,\cos\theta)$ 为法向量的平面截，然后从 $(\sin\theta,0,\cos\theta)$ 这个视角看截面，看到正圆。

在本地的文档目录下会生成一个 section.gif 的动画。

1. 
   
2. {a, b, c} = {3, 4, 5};
   
3. \[Theta] := ArcSin[Sqrt[(1/a^2 - 1/b^2)/(1/a^2 + 1/c^2)]];
   
4. Export[
   
5. "section.gif",
   
6. Table[
   
7.   Show[
   
8.    ContourPlot3D[
   
9.     x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 == 1, {x, -10, 10}, {y, -10,
   
10.      10}, {z, -12, 12},
    
11.     RegionFunction ->
    
12.      Function[{x, y, z}, Sin[\[Theta]] x + Cos[\[Theta]] z <= t],
    
13.     ViewPoint -> {Sin[\[Theta]], 0, Cos[\[Theta]]}, PlotPoints -> 40,
    
14.     Boxed -> False,
    
15.     MeshFunctions -> {Sin[\[Theta]] #1 + Cos[\[Theta]] #3 &}],
    
16.    ImplicitRegion[{x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 == 1 &&
    
17.        Sin[\[Theta]] x + Cos[\[Theta]] z == t}, {x, y, z}] //
    
18.     Region[#, ViewPoint -> {Sin[\[Theta]], 0, Cos[\[Theta]]},
    
19.       BaseStyle -> Directive[Blue, Thickness[0.008]]] &], {t, -4, 8,
    
20.    0.5}]]
    

复制代码

kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-17 22:12
以 (\sin\theta,0,\cos\theta) 为法向量的平面截，然后从 (\sin\theta,0,\cos\theta) 这个视角看截面 ...

厉害！27楼正文里的方程好像写反了，代码里是正确的。