一道解析几何题目

kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-11 08:38
我再想想

mathematica 太厉害了！对于数学工作者来说熟练掌握 LaTeX 和 mathematica 这两个工具应当足够了吧？我记得你曾经说过 mathematica  是地球上最好的软件！

kucotrey

答案在15楼。

Maxwell

非常感谢两位老师的作答！！今天才看到我的帖子被移动到几何拓扑版了，以前发错区了真不好意思！前面几楼的思路我感觉非常好！！期待老师12楼的后续！

Maxwell

我也按这个思路去试一试！

kucotrey

12楼表达方式不够精确，重写一遍。

单叶双曲面的方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\,\,(a<b)$

转换坐标系，新旧坐标系有如下关系

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{lc}x=x'\cos \theta+z'\sin \theta\\y=y'\\z=-x'\sin \theta+z'\cos \theta\end{array}\right.\\\\\end{array}$

我们选取合适的 $\theta$ 使其满足 $\sin^2\theta=\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}}$

新坐标系下看到的单叶双曲面的方程为

$\Big(x+\big(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\big)zb^2\cot \theta\Big)^2+y^2=\Big(\big(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\big)zb^2\cot \theta\Big)^2+b^2+z^2b^2\big(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2}\big)$

可以证明方程右边一定是正数，因此在新坐标系下，与 $z$ 轴垂直的平面跟此单叶双曲面的截痕为圆。

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-15 18:06
12楼表达方式不够精确，重写一遍。

单叶双曲面的方程 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}= ...

好！证明了绕着 $y$ 轴旋转存在平面截取单页双曲面截取出一个圆。
如何保证这个圆经过一开始任意给定的那个点呢？

herbertfederer

herbertfederer 发表于 2017-10-16 07:00
好！证明了绕着 y 轴旋转存在平面截取单页双曲面截取出一个圆。
如果保证这个圆经过一开始任意给定的那 ...

或者说，如何在过给定的点的平面簇中找到截面是圆的平面。
不知硬解方程行不行。

kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-16 07:05
或者说，如何在过给定的点的平面簇中找到截面是圆的平面。
不知硬解方程行不行。 ...

不用解方程，对于单叶双曲面上任意一点 $P,$ 做过此点且与 $xoy$ 平面夹角为 $\theta$ 的平面，上面已经证明了这样的平面与单叶双曲面的截痕为圆。

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-16 07:22
不用解方程，对于单叶双曲面上任意一点 P, 做过此点且与 xoy 平面夹角为 \theta 的平面，上面已经 ...

最开始的描述证明我没看懂。
后面的旋转变换是保持 $y$ 轴不动的旋转，这个限制太大，不能兼顾过固定的点和产生圆两个任务。

kucotrey

herbertfederer 发表于 2017-10-16 07:42
最开始的描述证明我没看懂。
后面的旋转变换是保持 y 轴不动的旋转，这个限制太大，不能兼顾过固定的点 ...

是可以兼顾的。因为任意与 $xoy$ 平面夹角为 $\theta$ 的平面都能截出圆。