一道解析几何题目

Maxwell

对于任意一个单叶双曲面，是否总可以对其上任意一点，都找到一个正五边形，使得这个五边形的顶点都在这个单叶双曲面上？请说明理由。

kucotrey

什么叫“对其上任意一点，都找到一个正五边形”？

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-9 12:07
什么叫“对其上任意一点，都找到一个正五边形”？

对单叶双曲面上任意固定的一点，能找到其他 4 个点，使得这 5 个点恰好构成正 5 边形。
估计是这个意思。

kucotrey

谢谢，如果这样那就太简单了。任意垂直于轴的平面与单叶双曲面的截痕都是圆，再作这个圆的内接正五边形就行了。这个问题也太扯淡了！

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-11 08:07
谢谢，如果这样那就太简单了。任意垂直于轴的平面与单叶双曲面的截痕都是圆，再作这个圆的内接正五边形就行 ...

单叶双曲面垂直于 $z$ 轴的截面只是椭圆。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

kucotrey

哦，我理解错了，但这也不难，倾斜一定的角度的平面，所得截痕是圆，这是很容易做到的啊。

kucotrey

我再想想

kucotrey

我6楼的想法是正确的，确实可以做到。只是简单的线性代数问题。

herbertfederer

kucotrey 发表于 2017-10-11 08:25
哦，我理解错了，但这也不难，倾斜一定的角度平行平面，所得截痕都是圆，这是很容易做到的啊。 ...

我再想想

1. 
   
2. ContourPlot3D[
   
3. x^2/3^2 + y^2/4^2 - z^2/8 == 1, {x, -30, 30}, {y, -30, 30}, {z, -20,
   
4.   20}, RegionFunction ->
   
5.   Function[{x, y, z}, x^2/3^2 + y^2/4^2 <= 30 ], Axes -> False,
   
6. Boxed -> False, PlotPoints -> 30]
   

复制代码

下面代码也可以画

1. 
   
2. region := ImplicitRegion[x^2/3^2 + y^2/4^2 - z^2/8 <= 1 , {x, y, z}]
   
3. RegionPlot3D[region, PlotRange -> {{-20, 20}, {-20, 20}, {-10, 10}},
   
4. PlotPoints -> 40, Boxed -> False]
   

复制代码

kucotrey

这 mathematica 还真挺好玩。