微分几何习题注记

herbertfederer

微分几何以前是自己念的, 最近当助教, 有机会做做多年没有再接触的曲线和曲面的习题.



15. 证明: 满足条件
$$\left( \frac{1}{\kappa}\right)^2+\left[ \frac{1}{\tau}\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{\kappa}\right)\right]^2=常数 $$
的曲线, 或者是球面曲线, 或者 $\kappa$ 是常数.

写了一个个人觉得更自然的证法. 微分原来的式子我们有
$$2\left(\frac{1}{\kappa}\right)^{\bullet}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{\tau}\left(\frac{\left(\frac{1}{k}\right)^{\bullet}}{\tau}\right)^{\bullet}\right)=0$$

于是我们只考虑
$$\frac{1}{k}+\frac{1}{\tau}\left(\frac{\left(\frac{1}{k}\right)^{\bullet}}{\tau}\right)^{\bullet}=0$$
的情形.

为了证明这个等式能推出曲线在球面上, 我们待定球心为
$$c(s)=\vec{r}(s)+\alpha(s)\vec{t}(s)+\beta(s)\vec{n}(s)+\gamma(s)\vec{b}(s)$$
我们要求 $c(s)$ 为定点, 然后再要求 $\vert c(s)-\vec{r}(s)\vert^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ 的长度为定值. 也就是要求

\begin{cases}
\dot{c}(s)=\vec{0}\\
\alpha\dot{\alpha}+\beta\dot{\beta}+\gamma\dot{\gamma}=0
\end{cases}

\begin{align}
\dot{c}=&\dot{\vec{r}}+(\dot{\alpha},\dot{\beta},\dot{\gamma})\begin{pmatrix}\vec{t}\\\vec{n}\\\vec{b}
\end{pmatrix}
+(\alpha,\beta,\gamma)
\begin{pmatrix}
\dot{\vec{t}}\\
\dot{\vec{n}}\\
\dot{\vec{b}}
\end{pmatrix}\\
=& (1,0,0)\begin{pmatrix}\vec{t}\\\vec{n}\\\vec{b}
\end{pmatrix}+(\dot{\alpha},\dot{\beta},\dot{\gamma})\begin{pmatrix}\vec{t}\\\vec{n}\\\vec{b}
\end{pmatrix}
+(\alpha,\beta,\gamma)
\begin{pmatrix}
0 & \kappa & 0 \\
-\kappa & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\vec{t}\\\vec{n}\\\vec{b}
\end{pmatrix} \\
=& \vec{0}
\end{align}

于是我们推出
\begin{align}
(\dot{\alpha},\dot{\beta},\dot{\gamma})=
(\alpha,\beta,\gamma)
\begin{pmatrix}
0 & -\kappa & 0 \\
\kappa & 0 & -\tau \\
0 & \tau & 0
\end{pmatrix}-(1,0,0)
\end{align}

从而
\begin{align}
0=(\dot{\alpha},\dot{\beta},\dot{\gamma})
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
\gamma
\end{pmatrix}
=
(\alpha,\beta,\gamma)
\begin{pmatrix}
0 & -\kappa & 0 \\
\kappa & 0 & -\tau \\
0 & \tau & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
\gamma
\end{pmatrix}-(1,0,0)\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta\\
\gamma
\end{pmatrix}
\end{align}
由此推出 $\alpha=0$

代回以后知道

\begin{align}
(0,\dot{\beta},\dot{\gamma})=
(0,\beta,\gamma)
\begin{pmatrix}
0 & -\kappa & 0 \\
\kappa & 0 & -\tau \\
0 & \tau & 0
\end{pmatrix}-(1,0,0)
\end{align}

即
\begin{cases}
0=\beta\kappa-1 \\
\dot{\beta}=\gamma\tau \\
\dot{\gamma}=-\tau\beta
\end{cases}

于是解出
\begin{cases}
\beta=\frac{1}{\kappa}\\
\gamma=\frac{\left(\frac{1}{\kappa}\right)^{\bullet}}{\tau} \\
\end{cases}
以及关系式
$$\frac{\tau}{\kappa}+ \left(\frac{\left(\frac{1}{k}\right)^{\bullet}}{\tau}\right)^{\bullet}=0$$

以上步骤反推回去也是成立的, 因此我证明了满足 $\left( \frac{1}{\kappa}\right)^2+\left[ \frac{1}{\tau}\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{\kappa}\right)\right]^2=常数 $ 且 $\kappa$ 不是常数的时候, 曲线落在
以
$$\vec{r}(s)+\frac{1}{\kappa}\vec{n}(s)+\frac{\left(\frac{1}{\kappa}\right)^{\bullet}}{\tau} \vec{b}(s)$$
这个定点为球心,  以
$$\sqrt{\left( \frac{1}{\kappa}\right)^2+\left[ \frac{1}{\tau}\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{\kappa}\right)\right]^2}$$
为半径的球面上.



未完待续

herbertfederer

4. 证明: 曲面 $F(\frac{y}{x},\frac{z}{x})=0$ 的任意切平面过原点.


这个题目的解答到处可见, 包括在很多数学分析多元部分的习题.

这里我们给出一个看法, 从而理解原来题目的实质.

首先, 我们考虑一些特殊情况, 例如 $F(u,v)=u+v-1$, 那么原来的方程变为 $x+y=z$ 这个过原点的平面, 考虑 $F(u,v)=u^2+v^2-1$, 那么原来的方程变成 $x^2+y^2=x^2$ 这个过原点的两个锥面.

于是, 我们发现了关键 --- 齐次

令 $f(x,y,z)=F(u,v)$, $u=\frac{y}{x}, v=\frac{z}{x}$, 一旦我们看出 $f(x,y,z)$ 是关于 $(x,y,z)$ 的 $0$ 齐次的. 即容易知道 $f(tx, ty, tz)=f(x,y,z)$ 接下去我们就想到欧拉定理. 欧拉定理说,
$$f(tx,ty,tz)=t^{\lambda}f(x,y,z)$$
等价于
$$x f_{x} +y f_{y}+ z f_{z}=\lambda f(x,y,z)$$
而现在 $\lambda=0$ ,于是 $(x,y,z)$ 与梯度 $\nabla f=(f_{x}, f_{y}, f_{z})$ 正交, 即位置向量 $(x,y,z)$ 与曲面的法向量正交, 接下去, 很明显, $(x,y,z)$ 处的切平面一定包含连接 $(0,0,0)$ 和 $(x,y,z)$ 的直线, 从而证明了原来的题目.


(几何上看出 $(u,v)$ 的这个表达其实是 $(x,y,z)$ 的齐次坐标, 也就是连接 $(0,0,0)$ 与 $(x,y,z)$ , 它与 $x=1$ 平面的交点, 正好是 $(1,\frac{y}{x},\frac{z}{x})$, 从而我们可以用 $(\frac{y}{x},\frac{z}{x})$ 作为 $(x,y,z)$ 的所谓齐次坐标. )

未完待续

herbertfederer

5. 求曲面 $z=f(x,y)$ 的 Christoffel 符号.

我们想做更一般的 $(x_1,x_2,\cdots,x_n, f(x_1,x_2,\cdots, x_n)) $ 的情形.  有外蕴利用外法向的方法，而不借助于外法向的内蕴做法没看到书上有(只有针对 $n=2$ 的, 做法不能推广到一般 $n$ 的情形, 例如陈维桓《微分几何》第 201 页), 这里写一个, 但作为对比, 先写外蕴的做法.


待续

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先占个位,欣赏学习,期待更多精彩

herbertfederer

herbertfederer 发表于 2016-8-5 10:12
5. 求曲面 z=f(x,y) 的 Christoffel 符号.

我们想做更一般的 (x_1,x_2,\cdots,x_n, f(x_1,x_2,\cdots, ...

关键是要用到一个矩阵的结果：
$$ (I+\alpha \alpha^{T})^{-1}=I-\alpha(1+\alpha^{T}\alpha)^{-1}\alpha^{T}$$

Dillinger

好期待!

xiaohuhu

herbertfederer 发表于 2016-11-19 10:02
关键是要用到一个矩阵的结果：
(I+\alpha \alpha^{T})^{-1}=I-\alpha(1+\alpha^{T}\alpha)^{-1}\alpha^{ ...

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